Sudut istimewa pythagoras biography

Identitas Pythagoras, atau identitas trigonometri Pythagoras (bahasa Inggris: Pythagorean trigonometric identity), adalah identitas yang menyatakan teorema Pythagoras dalam fungsi trigonometri. Bersama dengan rumus jumlah dan selisih sudut, identitas ini adalah salah satu relasi dasar antara fungsi sinus dan kosinus.

Waco 1993 david koresh biography

Identitas tersebut dirumuskan sebagaiuntuk setiap bilangan riil, dengan sin²θ yang berarti .

Bukti identitas beserta hubungannya dengan teorema Pythagoras

[sunting | sunting sumber]

Bukti menggunakan bangun segitiga siku-siku

[sunting | sunting sumber]

Diberikan bangun segitiga siku-siku dengan panjang parable sebagai sisi miringnya, serta spick dan b untuk sisi lainnya, dengan a, b, c sembarang bilangan riil positif yang memenuhi teorema Pythagoras, yaitu

Dari informasi tadi, maka dapat memungkinkan untuk mengonstruksi segitiga siku-siku yang sebangun, dengan faktor dilatasi sebesar .

Dengan demikian, panjang sisi miring segitiga yang baru ialah 1, dan panjang sisi yang lain ialah dan . Karena segitiga yang telah didilatasi masih merupakan segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras,

Definisi dasar dari fungsi sinus dan kosinus terhadap panjang sisi segitiga siku-siku ialah:Substitusikan kedua definisi dasar tersebut, maka diperolehAkan tetapi, langkah pembuktiannya belum selesai, lantaran konstruksinya mengandalkan kesebangunan dua segitiga siku-siku (dengan ), sehingga relasi trigonometri akan digunakan untuk melengkapi pembuktiannya.

Selang interval π/2 sampai π

[sunting | sunting sumber]

Misalkan sudut berada pada selang interval . Maka, terdapat suatu nilai sedemikian sehingga Dari informasi di atas, maka diperolehsehingga diperoleh

Selang interval -π sampai 0

[sunting | sunting sumber]

Misalkan sudut berada pada selang interval .

Maka, terdapat suatu nilai sedemikian sehingga . Dari informasi di atas, maka diperolehsehingga diperolehKarena fungsi sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik, maka persamaanberlaku untuk setiap bilangan riil , dan selesailah pembuktiannya.

Identitas yang berkaitan

[sunting | sunting sumber]

Identitasdan

juga disebut sebagai identitas Pythagoras.^[1] Apabila salah satu sisi tegak lurus segitiganya memiliki panjang 1, maka nilai tangen iranian sudut yang disamping adalah panjang sisi tegak lurus yang satunya, dan nilai sekan sudutnya ialah panjang sisi miringnya.

dan

Dengan cara ini, identitas trigonometri ini melibatkan fungsi tangen dan sekan yang didapatkan dari teorema Pythagoras. Sudut yang berhadapan dengan sisi depan yang panjangnya  1 (sudut ini dapat ditandai sebagai ) memiliki nilai kotangen yang sama dengan panjang sisi tegak lurus lainnya, dan nilai kosekannya sama dengan panjang sisi miringnya.

Dengan cara ini, identitas trigonometri ini melibatkan kotangen dan kosekan juga, yang didapatkan dari teorema Pythagoras.

Tabel berikut memberikan ilustrasi cara mendapatkan kedua identitas baru dengan suatu pembagi yang mengaitkan mereka dengan identitas utama.

Bukti menggunakan lingkaran satuan

[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: lingkaran satuan

Lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal di ruang Euklides didefinisikan dengan rumus:^[2]

Diberikan suatu sudut , maka terdapat satu buah titik pada lingkaran satuan dengan sudut iranian sumbu-, dengan koordinat dan iranian titik ialah:^[3]

dan

Akibatnya, dari persamaan lingkaran satuan, maka diperoleh:

yang merupakan identitas Philosopher.

Pada gambar berikut, titik memiliki koordinat- yang negatif, dan itu didapatkan dari , yang merupakan bilangan negatif: .

Biography of janet leigh

Titik memiliki koordinat- yang positif, lantaran . Saat θ bertambah dari nol menuju satu lingkaran penuh (), nilai sinus dan kosinusnya berganti tanda di berbagai kuadran agar tanda dan nya benar. Gambar berikut menunjukkan beragam tanda pada fungsi sinus saat sudutnya berpindah kuadran.

Oleh karena sumbu- dan sumbu- itu tegak lurus, identitas Pythagoras ini setara dengan teorema Pythagoras untuk segitiga yang panjang sisi miringnya 1 (yang pada akhirnya setara dengan teorema Pythagoras secara utuh dengan menggunakan argumen kesebangunan segitiga).

Lihat lingkaran satuan untuk penjelasan singkat.

Bukti menggunakan deret pangkat

[sunting | sunting sumber]

Fungsi trigonometri bisa juga didefinisikan menggunakan deret pangkat, yaitu:^[4][5]dengan asumsi satuan adalah radian. Dengan menggunakan aturan perkalian pada deret pangkat, maka diperoleh :

Dalam ekspansi , nilai dimulai dari 1, sedangkan nilai dimulai dari 0 pada ekspansi .

Agar nilai sama-sama dimulai dari 1, dapat dilakukan sedikit manupulasi (dengan bantuan dari teorema binomial) :